超滤子

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在数学领域集合论中,在集合 X 上的超滤子是作为极大滤子的 X 子集的搜集。超滤子可以被认为是有限可加性测度。那么 X 的所有子集要么被认为是“几乎所有”(有测度 1)要么被认为是“几乎没有”(有测度 0)。如果 A 是 X 的子集,则要么 A 要么 X\A 是超滤子的元素(这里 X\A 是 A 在 X 中的相对补集;就是说,X 的不在 A 中的所有元素的集合)。这个概念可以被推广到布尔代数甚至是一般偏序,并在集合论、模型论和拓扑学中有很多应用。

超滤子超滤子的类型和存在性

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有两种非常不同类型的超滤子: 主要的和自由的。主要(或固定或平凡)的超滤子是包含最小元的滤子。因此主超滤子有形式 Fa={x | a≤x} 对于给定偏序集合的某些(但非全部)元素 a。在这种情况下 a 被称为超滤子的“主元素”。对于滤子在集合上的情况,有资格成为主元素的精确的是一元素集合。因此在集合 S 上的主超滤子由包含 S 的特定点的所有集合构成。在有限集合上的超滤子是主要的。不是主要的任何超滤子叫做自由(或非主要)超滤子。
可以证明所有滤子(或更一般的说,带有有限交集性质的任何子集)都包含在一个超滤子中(参见超滤子引理)并且自由超滤子因而存在,但是这个证明涉及佐恩引理形式的选择公理。因此不能给出自由主滤子的明确例子。经管如此,在无限集合上的几乎所有超滤子都是自由的。相反的,在有限偏序集合(或在有限集合上)的所有超滤子都是主要的,因为任何有限滤子都最小元素。

超滤子应用

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在集合上的超滤子应用于拓扑学特别是联系于紧致豪斯多夫空间,和模型论中超乘积的构造。在紧致豪斯多夫空间上的所有超滤子会聚到精确的一个点。类似的,在偏序集合上超滤子是非常重要的,如果这个偏序集合是布尔代数,因为这种情况下超滤子同一于素滤子。这种形式的超滤子在Stone布尔代数表示定理中扮演中心角色。
在偏序集合 P 上所有超滤子 G 可以按自然方式来拓扑化,这实际上密切关联于上述表示定理。对于 P 的任何元素 a,设 Da = { U ∈ G | a ∈ U }。这是在 P 还是布尔代数时最有用的,因为在这种情况下所有 Da 的集合是在 G 上的紧致豪斯多夫拓扑的基。特别是,在考虑在集合 S 上的超滤子的时候(就是说 P 是 S 的幂集并按集合包含排序),结果的拓扑空间是势为 |S| 的离散空间的 Stone-Čech紧致化。
在模型论中的超乘积构造使用超滤子来生成结构的基本扩张。例如,在构造超实数为实数的超乘积中,我们首先把论域从实数扩展到实数序列。这个序列空间被当作实数的超集,通过用对应的常量序列来识别每个实数。要把熟悉的函数和关系(比如 + 和 <)从实数扩展到超实数,自然的想法是逐点的定义它们。但是这会丢失实数的重要逻辑性质;比如逐点 < 不是全序。所以我们转而“逐点模 U”的定义函数和关系,这里的 U 是在序列的索引集上的超滤子;通过Łoś定理,这保持了实数可以用一阶逻辑陈述的所有性质。如果 U 是非主要的,则从而获得的扩展是非平凡的。
词条标签:
理学